Mémo Espace Vectoriel
Nota Bene :
| Vecteurs : | \(V\) ou \(\vec{v}\) |
| Coordonnées dans l’espace : | \((x,y,z)\) ou \((\vec{u},\vec{v},\vec{w})\) |
| Espace quelconque : | \(\mathcal{E}\) |
| Espace muni d’un repère orthonormé direct \((\mathcal{O},\vec{i},\vec{j},\vec{k})\) : | \(\mathcal{E_\bot}\) |
\(\times\) correspond à multiplier sauf lorsque l’un a deux vecteurs, il s’agit du produit croisés, on utilisera \(*\) à la place.
Norme Euclidienne
Définition
La norme euclidienne d’un vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est la distance qui sépare \(A\) de \(B\) c’est donc un nombre. En général, elle est notée \(\left\lVert \overrightarrow{AB} \right\rVert\). Elle est égale à la racine de la somme des coordonnées au carrées ou au produit scalaire du vecteur avec lui-même.
Propriétés
| \(\left\lVert k\times\vec{v} \right\rVert\) | \(=\) | \(\lvert k \rvert\times\left\lVert \vec{v} \right\rVert\) | \(\quad \quad \quad\) | \(\left\lVert -\vec{v} \right\rVert\) | \(=\) | \(\left\lVert \vec{v} \right\rVert\) | ||||
| \({\left\lVert \vec{v} \right\rVert}_1\) | \(=\) | \(\lvert x \rvert + \lvert y \rvert + \lvert z \rvert\) | \(\quad \quad \quad\) | \({\left\lVert \vec{v} \right\rVert}_p\) | \(=\) | \({\left( x^p + y^p + z^p \right)}^p\) | \(\quad \quad \quad\) | \({\left\lVert \vec{v} \right\rVert}_\infty\) | \(=\) | \(\max{\left( x, y, z \right)}\) |
Produit Scalaire
Définition
Dans l’espace orthonormé direct \(\mathcal{E_\bot}\). Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs de l’espace. Alors le produit scalaire de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) noté \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) est le nombre réel défini par :
| \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) | \(=\) | \(\langle \vec{u}, \vec{v} \rangle\) | \(=\) | \(\left\lVert \vec{u} \right\rVert \times \left\lVert \vec{v} \right\rVert \times \cos{\left( \widehat{\vec{u}, \vec{v}} \right)}\) |
| \(=\) | \(\frac{1}{2} \times \left( {\left\lVert \vec{u} \right\rVert}^2 + {\left\lVert \vec{v} \right\rVert}^2 + {\left\lVert \vec{u}-\vec{v} \right\rVert}^2 \right)\) | |||
| \(=\) | \(u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3\) |
Propriétés
| \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) | \(=\) | \(\vec{v} \cdot \vec{u}\) | \(\quad \quad \quad\) | \(\vec{u} \cdot \vec{u}\) | \(=\) | \(\vec{u}^2 = {\left\lVert \vec{u} \right\rVert}^2\) | \(\quad \quad \quad\) | \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) | \(=\) | \(0 \iff \vec{u} \bot \vec{v}\) |
| \(\left( \lambda\times\vec{u} \right) \cdot \vec{v}\) | \(=\) | \(\lambda\times\left(\vec{u} \cdot \vec{v}\right)\) | \(\quad \quad \quad\) | \(\cos{\left( \widehat{\vec{u}, \vec{v}} \right)}\) | \(=\) | \(\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\left\lVert \vec{u} \right\rVert \times \left\lVert \vec{v} \right\rVert}\) | \(\quad \quad \quad\) | \(\left( \vec{u} + \vec{v} \right) \cdot \vec{w}\) | \(=\) | \(\vec{u} \cdot \vec{w} + \vec{v} \cdot \vec{w}\) |
| \({\left( \vec{u} + \vec{v} \right)}^2\) | \(=\) | \(\vec{u}^2 + 2 \times \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v}^2\) | \(\quad \quad \quad\) | \({\left( \vec{u} - \vec{v} \right)}^2\) | \(=\) | \(\vec{u}^2 - 2 \times \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v}^2\) | \(\quad \quad \quad\) | \({\left( \vec{u} + \vec{v} \right)}{\left( \vec{u} - \vec{v} \right)}\) | \(=\) | \(\vec{u}^2 - \vec{v}^2\) |
Produit Vectoriel 3D ou Produit croisé 3D (Cross Product)
Définition
D’un point de vue géométrique, le produit vectoriel de deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) non colinéaires se définit comme l’unique vecteur \(\vec{w}\) tel que :
- Le vecteur \(\vec{w}\) est orthogonal aux deux vecteurs donnés.
- La base \((\vec{u},\vec{v},\vec{w})\) est de sens direct.
- \(\left\lVert \vec{w} \right\rVert = \left\lVert \vec{u} \right\rVert \times \left\lVert \vec{v} \right\rVert \times \left\lvert \sin{\left( \widehat{\vec{u}, \vec{v}} \right)} \right\rvert\).
Propriétés
| \(\vec{u} \times \vec{v}\) | \(=\) | \(- \vec{v} \times \vec{u}\) | ||
| \(\lambda * \left( \vec{u} \times \vec{v} \right)\) | \(=\) | \(\lambda * \vec{u} \times \vec{v}\) | \(=\) | \(\vec{u} \times \lambda * \vec{v}\) |
| \(\vec{u} \times \left( \vec{v} + \vec{w} \right)\) | \(=\) | \(\vec{u} \times \vec{v} + \vec{u} \times \vec{w}\) |
